音…純正律への理論的・体験的アプローチ

はじめに。

この文章は、筆者が勝手に調べた事をまとめたものです。ウソついてるかもしれません。

なお、Latexで書いた物を手作業でHTMLに変換しましたので、見にくくて申し訳ありません。

また、間違いなどありましたらメールにてご指摘下さりますようお願いします。

純音と複合音

まず、音とは何でしょうか？
それは、空気を構成する粒子の密度変化を伝える疎密波（縦波）だと定義できます。 うーん、こう書くと難しいですね。私にもよくわかりません（なんじゃそら）
要するに空気の振動ということでしょう。 ということは、波動の性質をもっていますから、回折や干渉、重ね合わせなどの現象が起こります。

とまあそのような事は頭の片隅にちょっとだけ置いときましょう。 さて、次にあげますように、音は大きく二つに分けられます。

純音 (pure tone)	単一の波（正弦波）からできている音。 例：音叉、時報の音（後述）
複合音 (complex tone)	純音が幾つか混ざりあってできている音。さらに楽音と騒音に分けられる。 [楽音] 規則性のある振動の持続による音。 例：声の母音の発音、メロディを奏でられる楽器の出す音のほとんど。 [騒音] 規則性のない振動による音、または非常に短時間でその性 質がはっきり聴きとれないもの。厳密には複合音の定義から外れるけど、純音で もないですから。 例：声の子音の発音、ピアノや打楽器を打った瞬間の音、物が壊れる音

私達のまわりにある音のほとんどは複合音です。
複合音に含まれているいくつかの純音のそれぞれを、部分音(Percial tone)と言います。
また、複合音というのは、たいていは倍音というもの（後述）を含んでいます。

では純音ってなんでしょう？ 例えば、音叉の出す音や、ラジオやテレビの時報の音がそれです。 「ぽっ、ぽっ、ぽっ、ぽーん」という時報の音のうち、低い「ぽっ、ぽっ、ぽっ、」が440Hz、高い「ぽーん」が880Hzです。 これらはどれも、何の変哲もない、一定の音です。 実は自然界には滅多にない音で、こういうのを純音といいます。

理系な補説

純音ってゆーのは、観測地点での音の強さ（音圧レベル）が

a sin(2*pi*ft + theta)
（a ： 基準音圧、f ： 周波数、theta： 位相） で表わされる音です。

そして、複合音というのは、同じく観測地点での音の強さ（音圧レベル）が

a(k)*sin( 2*pi*f(k)*t + theta(k)) |k=1〜無限大
で表わされる音です。

ここで、ある数 kで表わされる

a(k) sin ( 2*pi*f(k)*t + theta(k) )
というのは、複合音に含まれる純音であって、部分音(Percial tone)と呼ばれます。

この複合音が f(k) = k*f でない場合、この複合音は「非調和複合音」と呼ばれます。

また、 f(k) = k*f のとき、この複合音は「調和複合音」と呼ばれます。つまり、倍音（後述）のみ を含む音というわけです。

説明がわかりにくくてすいませんです。

基音と倍音

楽器を演奏したり歌を歌ったりしたとき、人や楽器が主に出している音を基音と言います。

そして、基音のもつ周波数の整数倍の周波数をもつ音を、倍音と言います。 220Hzの基音の倍音は、440Hz、660Hz、880Hz、1100Hz、1320Hz・・・・となります。

また音楽で使われる音のほとんどは、倍音を含んでいます。 なぜなら倍音は、楽器自体や演奏場所などに共鳴して、必ずと言っていいほど発生するからです。

よく言われる音色というやつは、この倍音の含み具合で（だいたい）決まります。 楽器や演奏場所によって、音の音色が違うのはそのせいです。


基音と倍音の図。
(1)：220Hzの基音
(2)〜(4)： 440Hz,660Hz,880Hzの倍音
(5)：(1)〜(4)を合成した複合音

純正律と十二平均律

ピタゴラス律

純正律が現れる以前の音階構成法らしいです。

この律に従う２つの音をとってきたばあい、その周波数比はすべて次のような式に従います。（k、l はともに整数）

(2^k)*(3^l)

いまではほとんど使われていないと思います。 ですが、このピタゴラス律で調律した楽器（or声）でソロをやると旋律的に美しく聞こえるそうです。

純正律

やっと出てきましたね。

この律に従う２つの音をとってきたばあい、その周波数比はすべて次のような式に従います。（k、l、m はともに整数）

(2^k)*(3^l)*(5^m)

身近な表し方をしてみます。

２音の周波数比	音程
１：１	完全一度（ユニゾン）
１：２	完全８度（１オクターブ違い）
２：３	完全５度（例・ドとソ）
３：４	完全４度（例・ドとファ）
４：５	長３度（例・ドとミ）
５：６	短３度（例・ラと上のド）
３：５	長６度（例・ドとラ）
５：８	短６度（例・ミと上のド）

この純正律にしたがうとすると、「ミ」の音は「ド」の音の 5/4 倍という周波数になります。

これがピタゴラス律ですと、 81/64 倍となり、ちょっとだけですが変な和音に聞こえるかもしれません。

昔はこの純正律というものを音楽では用いていました。特徴としては和音が非常に綺麗に聞こえる音階になります。

なぜかといいますと、人間の耳は、２つの音の周波数比が簡単な比になるほど綺麗な和音に感じられるようになっているかららしいのです。上の例からいきますと、ピタゴラス律よか純正律の方が周波数比が簡単な数になるので、綺麗に聞こえるはずです。

で、この純正律にはどでかい欠点がありまして、隣り合う音の周波数比が、それぞれ違うんです。

C durを例にとりますと、ドとレの間の周波数比は9/8ですが、 レとミの間の周波数比は 10/9 で、 どちらも長２度の違いのはずなのに、周波数比が違ってしまっています。
また、レとラの間は５度ですが、周波数比は 40/27 となり、実は完全５度の音ではないのです。これはドの音を音程の基準にしている(C dur)からです。

さらにこの理屈をよく考えていくと、 例えばミのシャープ(E#)と、ファ(F)が、違う音ということになってしまうんです（他の音についても同じ）。 またドのダブルシャープはレにはなりません。 具体的に述べてしまいますと、１オクターブ中に、音が２１個あるわけです。
(ドレミファソラシの７つと、その各々にフラットがついたもの、シャープがついたもの、で 7 + 7 + 7 = 21 ) 私たちにとっては考えられないことですね。

ということは、ある調に調律した楽器でほかの調の曲を演奏しようとすると、へんてこりんな音になってしまいます。もちろん転調なんかできません。こりゃ困った。
ちなみに、すべての調を演奏できる純正律オルガンは、上記の理由から、 鍵盤がすごい形をしています。
(１オクターブ中に黒鍵が１０個くらい、白鍵も１０個くらい。なんじゃそりゃ)

十二(等分)平均律

純正律の欠点は、時代を経るにつれ致命的なものと考えられるようになってきました。 まず1562年ごろ不等分平均律が生まれ、そして１７世紀になってできたのが、この十二(等分)平均律です。
これは、１オクターブの周波数の幅を１２の平等な音程に分割して、それを半音と定めたものです。

具体的には、２つの音の周波数比が、 ２の n 乗根 であらわされる音、ということになります。
私たちには当然のことですが、ミのシャープ(E\#)とファ(F)が違う音ということはありませんし、ドのダブルシャープはレです。

長所としては、これで調律された楽器を用いますと、どんな調でも演奏でき、均一な響きが得られることがあげられましょう。

欠点としては、二つの音の比が（１オクターブ違いの音以外）全て無理数（1.05946...など）で表されるため、和音の綺麗さにおいて純正律にはかないません。
ただ、和音の汚さは微少であり、しかも平均しているために、長所によって得られるメリットの方が圧倒的に大きいため、現在は世界的に普及している律となっています。 (と、楽典には書いてあった)

付録に、十二平均律に基づく音階周波数表を掲げます。
「なんじゃこりゃ？」な周波数だということがわかりますでしょうか。
純正律に基づく音階周波数表を同じく付録にしましたので、比べてみてください。

純正律を聴いてみよう！

純正律和音を見てみよう！

純正律の音の波形をプリントアウトしてみました。
パレストリーナのミサ・ブレヴィス、「Gloria」の最初の和音 の各音（(1)〜(4)）と、それをコンピュータで合成した音（(5)）です。
ただし、ここでは、A#の音を464Hzの正弦波とした Es dur の純正律と仮定しています。

純正律 vs 十二平均律

試しに、コンピュータで合成した純正律の主和音と、十二平均律の主和音を、同じ条件下で聴き比べてみました。
やはり、十二平均律の方が、うなりのようなものが発生しているのが聴き取れました。純正律の方は、ふわーんとした濁りのない感じを受けました。

これが筆者の声だ！

ここで、筆者（男、録音当時２１歳）が５つの母音を発音したときの、周波数のグラフを見てみましょう。
わかりやすい「あー」のデータを一番上に拡大して表示しています。（わかりにくいかも知れんけど）
５つのグラフのそれぞれで、上の横線を中心にして分布してる点は、音の実際の波形です。
そして、下の横線から上に飛び出ている細い棒グラフ、これが声の周波数（音のスペクトラム (音のサンプリングデータを高速フーリエ変換し、その結果を見やすく表示したもの) のグラフです。
棒グラフは、右に行くほど高い音が出ていることを表しています。棒は、高いほど、その周波数が強く出ていることを表します。

倍音と発声法の関係（推測）

これは、前項のデータを解析してる時に思ったことですが、 鼻腔に響かせることを意識した声の周波数グラフを見てみると、倍音が強く、しかもいくつも出るみたいです。
たぶん鼻に響かせることで共鳴が起き、倍音が強調されるのでしょう。
声の音色と言うのは、倍音の含み具合で決まると書きましたが、声楽的に「良い声」というのは、 高い倍音まで含む声なのかも知れません。
どなたか研究してませんかねぇ。

参考文献

1.情報科学特別講義ID「音楽に関する音響と心理」(筑波大学第三学群情報学類 ９６年度第三学期集中講義)授業ノート

2.楽典 音楽之友社

3.理科年表

4.知的工学システム実験(筑波大学第三学群工学システム学類３年次 必修科目)ノート

付録

十二平均律の基本周波数表

C durの純正律の基本周波数表（簡略版）

関連リンク

Masashi MURAYAMA <murayama@image.esys.tsukuba.ac.jp>

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